هدی برای یافتن زاویۀ خارجی یکی از رأس‌های مثلث به ترتیب زیر عمل کرد. راه حل او را کامل کنید.
او رابطۀ جالبی را مشاهده کرد. آیا می‌توانید حدس بزنید چه رابطه‌ای؟
**تکمیل راه‌حل هدی:**
برای پیدا کردن زاویه خارجی رأس B، ابتدا باید زاویه داخلی آن ($ \hat{B}_۱ $) را پیدا کنیم. مجموع زوایای داخلی مثلث $۱۸۰$ درجه است.
$ \hat{B}_۱ = ۱۸۰^\circ - (۷۰^\circ + ۸۰^\circ) = ۱۸۰^\circ - ۱۵۰^\circ = ۳۰^\circ $
حالا زاویه خارجی ($ \hat{B}_۲ $) را که مکمل زاویه داخلی است، حساب می‌کنیم:
$ \hat{B}_۲ = ۱۸۰^\circ - ۳۰^\circ = ۱۵۰^\circ $
**رابطه مشاهده شده (حدس):**
رابطه جالبی که هدی مشاهده کرد، **قضیه زاویه خارجی مثلث** است. این قضیه بیان می‌کند:
**«اندازه هر زاویه خارجی یک مثلث، برابر با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور آن است.»**
- **برای رأس A:** زاویه خارجی $۱۱۰^\circ$ است و مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور آن $ ۸۰^\circ + ۳۰^\circ = ۱۱۰^\circ $ می‌باشد.
- **برای رأس B:** زاویه خارجی $۱۵۰^\circ$ است و مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور آن $ ۸۰^\circ + ۷۰^\circ = ۱۵۰^\circ $ می‌باشد.
هدی با خودش فکر کرد: «آیا هر زاویۀ خارجی مثلث برابر با مجموع دو زاویۀ داخلی دیگر آن مثلث است؟» با یک مثال دیگر حدس خود را بررسی کرد.
این آزمایش نیز حدس او را تأیید کرد. آیا حدس زدن و آزمایش کردن کافی است؟ چرا؟
**تکمیل محاسبات مثال:**
ابتدا زاویه داخلی $ \hat{C}_۱ $ را پیدا می‌کنیم:
$ \hat{C}_۱ = ۱۸۰^\circ - (۷۰^\circ + ۳۰^\circ) = ۱۸۰^\circ - ۱۰۰^\circ = ۸۰^\circ $
سپس زاویه خارجی $ \hat{C}_۲ $ را محاسبه می‌کنیم:
$ \hat{C}_۲ = ۱۸۰^\circ - ۸۰^\circ = ۱۰۰^\circ $
این مثال حدس را تأیید می‌کند، زیرا زاویه خارجی ($۱۰۰^\circ$) برابر با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور ($۷۰^\circ + ۳۰^\circ = ۱۰۰^\circ$) است.
**آیا حدس زدن و آزمایش کردن کافی است؟ چرا؟**
**خیر، کافی نیست.**
**چرا؟** در علم ریاضیات، «آزمایش کردن» با چند مثال می‌تواند به ما در کشف یک الگو و ایجاد یک **حدس (Conjecture)** کمک کند. اما این مثال‌ها نمی‌توانند یک قضیه را **اثبات** کنند. اثبات математический باید با استفاده از استدلال منطقی و بر اساس تعاریف و قضایای پذیرفته شده قبلی، نشان دهد که یک حکم برای **همه حالت‌های ممکن** درست است، نه فقط برای چند مورد خاص. ممکن است مثالی وجود داشته باشد که ما آن را آزمایش نکرده‌ایم و حدس ما را نقض کند.
۱- مثالی بیاورید که نشان دهد جمله زیر، نادرست است.
«هر زاویه خارجی یک چهارضلعی، برابر مجموع سه زاویه داخلی دیگر آن است.»
این جمله **نادرست** است. برای نشان دادن نادرستی آن، می‌توانیم از یک **مربع** به عنوان مثال نقض استفاده کنیم.
۱. یک مربع را در نظر بگیرید. همه زوایای داخلی آن $۹۰$ درجه هستند.
۲. یک زاویه خارجی آن را محاسبه می‌کنیم. زاویه خارجی مکمل زاویه داخلی است:
$ \text{اندازه زاویه خارجی} = ۱۸۰^\circ - ۹۰^\circ = ۹۰^\circ $
۳. حالا مجموع سه زاویه داخلی **دیگر** آن را محاسبه می‌کنیم:
$ \text{مجموع سه زاویه داخلی دیگر} = ۹۰^\circ + ۹۰^\circ + ۹۰^\circ = ۲۷۰^\circ $
۴. با مقایسه این دو مقدار، می‌بینیم که با هم برابر نیستند:
$ ۹۰^\circ \neq ۲۷۰^\circ $
بنابراین، این مثال نشان می‌دهد که جمله ارائه شده نادرست است.
